Phénomènes aléatoires - Enseignement scientifique

Probabilité conditionnelle et indépendance

Exercice 1 : Calculer des probabilités conditionnelles en situation concrète

Dans un club de vacances de \( 1\:000\) clients, on a constaté que \( 45 \) % des vacanciers pratiquent le golf et, parmi eux, \( 30 \) % pratiquent aussi le tennis. \( 51 \) % des vacanciers pratiquent le tennis.
On croise au hasard un vacancier du club.
On note \( G \) : l’événement « le vacancier pratique le golf » et \( T \) : l’événement « le vacancier pratique le tennis »

Compléter le tableau suivant :
{"header_top": ["Pratiquent le Golf", "Ne pratiquent pas le Golf", "Total"], "header_left": ["Pratiquent le Tennis", "Ne pratiquent pas le Tennis", "Total"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "1000"]]}
Déterminer \( p(T) \).
Déterminer \( p_{G}(T) \).
Déterminer \( p(G \cap T) \).
Déterminer \( p(G \cup T) \).
On rencontre un vacancier pratiquant le tennis, déterminer la probabilité qu'il pratique aussi le golf.
On donnera un résultat arrondi au millième.

Exercice 2 : Probabilité conditionnelle avec un tableau rempli, identifier les données pertinentes.

Afin de mieux connaître sa clientèle, une station balnéaire effectue une enquête auprès de 250 vacanciers. Le tableau ci-dessous présente la synthèse des réponses au sondage:

CampingHôtelChambre d’hôteTotal
Vient 1 semaine par an\(30\)\(70\)\(20\)\(120\)
Vient tous les week-ends\(20\)\(50\)\(10\)\(80\)
Vient 2 fois par an\(50\)\(30\)\(50\)\(130\)
Total\(100\)\(150\)\(80\)\(330\)

On choisit au hasard un client parmi les 330 personnes interrogées, toutes ayant la même chance d'être choisies. On considère les évenements suivants :

  • A : « la personne vient dans la station balnéaire tous les week-ends » ;
  • B : « la personne loge dans la chambre d’hôte ».
Déterminer la probabilité \(p(A) \) de l'évenement A.
On donnera la réponse sous la forme d'un entier ou d'une fraction simplifiée.
Déterminer \(p(A) \times p(B) \).
Déterminer la probabilité \(p(A \cap B) \).
Les évènements A et B sont_ils indépendants ?
Déterminer la probablité \( p_{\overline{B}}(A) \).

Exercice 3 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (2 branches)

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 45% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 25% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 35% pratiquent la natation.

On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :
  • - S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
  • - N : « le vacancier choisi pratique la natation ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(S) \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"S": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{S}": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le vacancier choisi ne fréquente pas de salle de sport et ne pratique pas la natation »
Calculer la probabilité \( p \) de cet évènement.
On donnera la réponse sous la forme \(p = ...\).

Exercice 4 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
20% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 35% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 5% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 1% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_1) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi ne soit pas défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_2 \) et n'est pas défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 5 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage mathématique

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :
  • - 40% font du handball
  • - 58% font du tennis et, parmi eux, 30% font aussi du handball
On note :
  • - S1 : l’événement « l'élève fait du tennis »
  • - S2 : l’événement « l'élève fait du handball »
On donnera les informations sous forme d'un tableau :
Pratique le tennisNe pratique pas le tennisTotal
Pratique le handball\(174\)\(226\)\(400\)
Ne pratique pas le handball\(406\)\(194\)\(600\)
Total\(580\)\(420\)\(1000\)

 
Indiquer la probabilité \(P_{}(S2) \).
Indiquer la probabilité \( P_{S1}(S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cap S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cup S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(\overline{S2}) \).
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False